Matemática básica Ejemplos

$\frac{a^{2} + 7}{a^{2} - 25} \cdot \frac{a^{3} - 3 a^{2} + 7 a - 21}{a^{2} + 2 a - 15}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{a^{2} + 7}{a^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{a^{3} - 3 a^{2} + 7 a - 21}{a^{2} + 2 a - 15}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 5$ .

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{a^{3} - 3 a^{2} + 7 a - 21}{a^{2} + 2 a - 15}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{(a^{3} - 3 a^{2}) + 7 a - 21}{a^{2} + 2 a - 15}$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} (a - 3) + 7 (a - 3)}{a^{2} + 2 a - 15}$

Paso 2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $a - 3$ .

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{(a - 3) (a^{2} + 7)}{a^{2} + 2 a - 15}$

Paso 3

Factoriza $a^{2} + 2 a - 15$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $2$ .

$- 3, 5$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{(a - 3) (a^{2} + 7)}{(a - 3) (a + 5)}$

Paso 4

Cancela el factor común de $a - 3$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{(a - 3) (a^{2} + 7)}{(a - 3) (a + 5)}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} + 7}{a + 5}$

Paso 5

Multiplica $\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} + 7}{a + 5}$ .

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)}$ por $\frac{a^{2} + 7}{a + 5}$ .

$\frac{(a^{2} + 7) (a^{2} + 7)}{(a + 5) (a - 5) (a + 5)}$

Paso 5.2

Eleva $a^{2} + 7$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{1} (a^{2} + 7)}{(a + 5) (a - 5) (a + 5)}$

Paso 5.3

Eleva $a^{2} + 7$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{1} {(a^{2} + 7)}^{1}}{(a + 5) (a - 5) (a + 5)}$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{1 + 1}}{(a + 5) (a - 5) (a + 5)}$

Paso 5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{2}}{(a + 5) (a - 5) (a + 5)}$

Paso 5.6

Eleva $a + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{2}}{{(a + 5)}^{1} (a + 5) (a - 5)}$

Paso 5.7

Eleva $a + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{2}}{{(a + 5)}^{1} {(a + 5)}^{1} (a - 5)}$

Paso 5.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{2}}{{(a + 5)}^{1 + 1} (a - 5)}$

Paso 5.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{2}}{{(a + 5)}^{2} (a - 5)}$